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  3. 设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y′+P(x)y=0的所有解．

设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y′+P(x)y=0的所有解．

admin2020-03-05  80
问题 设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y′+P(x)y=0的所有解．
选项
答案因为对任意常数C，y=Ce－∫p(x)dx是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则 [ye∫p(x)dx]′=e∫p(x)dx[y′+p(x)y]=0， 即存在常数C，使得ye∫p(x)dx=C，即y=Ce－∫p(x)dx．
解析 易直接验证对任意常数C，y=Ce－∫p(x)dx是原方程的解．只需再证：若y是原方程的解，则存在某常数C，使得y=Ce－∫p(x)dx，即证：ye－∫p(x)dx为常数．
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考研数学一

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