椭圆有两顶点A(一1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．

admin2018-10-10 8

问题椭圆有两顶点A(一1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

当点P异于A，B两点时，求证：

为定值．

选项

答案直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y=kx+1(k≠0且k≠±1)，所以P点坐标为[*] 设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，由(1)知 [*] 直线AC的方程为[*] 直线BD的方程为[*] 将两直线方程联立，消去y得[*] 因为—1＜x₁，x₂＜1，所以[*]异号. [*] 因此Q点坐标为(一k，y₀)． [*]为定值.

解析

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椭圆有两顶点A(一1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．

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