设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．

admin2018-05-21 27

问题设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．

选项 A、若A²=E，则－1一定是矩阵A的特征值
B、若r(E+A)＜n，则－1一定是矩阵A的特征值
C、若矩阵A的各行元素之和为－1，则－1一定是矩阵A的特征值
D、若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则－1一定是A的特征值

答案A

解析若r(E+A)＜n，则|E+A|=0，于是－1为A的特征值；
若A的每行元素之和为－1，则

根据特征值特征向量的定义，－1为A的特征值；若A是正交矩阵，则A^TA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则X^TA^T=λX^T，于是X^TA^TAX=λ²X^TX，即(λ²－1)X^TX=0，而X^TX＞0，故λ²=1，再由特征值之积为负得－1为A的特征值，选(A)．

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