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已知α1,α2,…,αt是齐次方程组Aχ=0的基础解系,试判断α1+α2,α2+α3,…,αt-1+αt,αt+α1是否为Aχ=0的基础解系,并说明理由.
已知α1,α2,…,αt是齐次方程组Aχ=0的基础解系,试判断α1+α2,α2+α3,…,αt-1+αt,αt+α1是否为Aχ=0的基础解系,并说明理由.
admin
2018-06-12
50
问题
已知α
1
,α
2
,…,α
t
是齐次方程组Aχ=0的基础解系,试判断α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t-1
+α
t
,α
t
+α
1
是否为Aχ=0的基础解系,并说明理由.
选项
答案
作为齐次方程组AX=0的基础解系α
1
,α
2
,…,α
t
的线性组合,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
是AX=0的一组解,个数=t=n-r(A).α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
是不是AX=0的基础解系只要判断它们是否线性无关. 设A=(α
1
,α
2
,…,α
t
),B=(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
),则B=AC,其中 [*] 因为α
1
,α
2
,…,α
t
线性无关,所以A列满秩,r(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
)=r(B)=r(C). |C|=1+(-1)
t+1
, 当t是奇数时,|C|=2,C可逆,r(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
)=t,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
线性无关,因此是AX=0的基础解系. 当t是偶数时,|C|=0,C不可逆,r(α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
)<t,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
t
+α
1
线性相关,因此不是AX=0的基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OFg4777K
0
考研数学一
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