(Ⅰ)求微分方程＝0的通解及满足y(1)＝1的特解； (Ⅱ)求微分方程(yeχ＋2eχ＋y2)dχ＋(eχ＋2χy)dy＝0的通解．

admin2018-06-12 30

问题 (Ⅰ)求微分方程

＝0的通解及满足y(1)＝1的特解；
(Ⅱ)求微分方程(ye^χ＋2e^χ＋y²)dχ＋(e^χ＋2χy)dy＝0的通解．

选项

答案先判断类型，然后再求解． (Ⅰ)原微分方程两边乘以y⁴后并改写成 [*] 这是齐次方程u＝[*]，原方程变成可分离变量的方程 [*] 分离变量得 [*] 积分得[*] 即ln[*]＝ln｜χ｜＋C₁，亦即[*]＝Cχ，代入u＝[*]，得通解[*]＝C，其中C为[*]常数．令χ＝1，y＝1得C＝0，于是得满足y(1)＝1的特解y＝χ． (Ⅱ)这不是可分离变量的或齐次的，也不是一阶线性等类型的方程．考察一下是否是全微分方程．将方程表为Pdχ＋Qdy＝0([*]χ，y)．因 [*] 所以原方程是全微分方程，求它的通解归结为求Pdχ＋Qdy的原函数． (y＋2)de^χ＋y²dχ＋e^χd(y＋2)＋χdy²＝0，由微分法则得d[(y＋2)e^χ＋χy²]＝0．因此通解为(y＋2)e^χ＋χy²＝C，其中C为[*]常数．

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)求微分方程＝0的通解及满足y(1)＝1的特解； (Ⅱ)求微分方程(yeχ＋2eχ＋y2)dχ＋(eχ＋2χy)dy＝0的通解．

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已知R3的两个基为求由基a1，a2，a3到基b1，b2，b3的过渡矩阵P．

已知线性方程组有无穷多解，而A是3阶矩阵，且分别是A关于特征值1，－1，0的三个特征向量，求矩阵A．

已知方程组(Ⅰ)及方程组(Ⅱ)的通解为k1[-1，1，1，0]T+k2[2，-1，0，1]T+[-2，-3，0，0]T．求方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，-1，2，0]T．记α=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由．

已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f’’(x)-[f’(x)]2≥0(x∈R)．证明：f(x1)f(x2)≥

设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且f(x，y)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．

求过两点A(0，1，0)，B(-1，2，1)且与直线x=-2+t，y=1-4t，z=2+3t平行的平面方程．

设y=ex为微分方程xy’+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)=0的特解．

设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e—4x+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_．

求下列定积分：(Ⅰ)I=dx；(Ⅱ)J=sin2xarctanexdx．

试述肺性脑病的概念及发生机制。

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求过两点A(0，1，0)，B(-1，2，1)且与直线x=-2+t，y=1-4t，z=2+3t平行的平面方程．

设y=ex为微分方程xy’+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)=0的特解．

设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e—4x+x2+3x+2，则Q(x)=___________，该微分方程的通解为___________．

求下列定积分：(Ⅰ)I=dx；(Ⅱ)J=sin2xarctanexdx．

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