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(Ⅰ)求微分方程=0的通解及满足y(1)=1的特解; (Ⅱ)求微分方程(yeχ+2eχ+y2)dχ+(eχ+2χy)dy=0的通解.
(Ⅰ)求微分方程=0的通解及满足y(1)=1的特解; (Ⅱ)求微分方程(yeχ+2eχ+y2)dχ+(eχ+2χy)dy=0的通解.
admin
2018-06-12
43
问题
(Ⅰ)求微分方程
=0的通解及满足y(1)=1的特解;
(Ⅱ)求微分方程(ye
χ
+2e
χ
+y
2
)dχ+(e
χ
+2χy)dy=0的通解.
选项
答案
先判断类型,然后再求解. (Ⅰ)原微分方程两边乘以y
4
后并改写成 [*] 这是齐次方程u=[*],原方程变成可分离变量的方程 [*] 分离变量得 [*] 积分得[*] 即ln[*]=ln|χ|+C
1
,亦即[*]=Cχ, 代入u=[*],得通解[*]=C,其中C为[*]常数. 令χ=1,y=1得C=0,于是得满足y(1)=1的特解y=χ. (Ⅱ)这不是可分离变量的或齐次的,也不是一阶线性等类型的方程.考察一下是否是全微分方程. 将方程表为Pdχ+Qdy=0([*]χ,y).因 [*] 所以原方程是全微分方程,求它的通解归结为求Pdχ+Qdy的原函数. (y+2)de
χ
+y
2
dχ+e
χ
d(y+2)+χdy
2
=0, 由微分法则得d[(y+2)e
χ
+χy
2
]=0. 因此通解为(y+2)e
χ
+χy
2
=C,其中C为[*]常数.
解析
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考研数学一
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