设f(x)是区间[0，]上单调、可导的函数，且满足 ∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt，其中f－1是f的反函数，求f(x)。

admin2018-01-30 39

问题设f(x)是区间[0，

]上单调、可导的函数，且满足
∫₀^f(x)f^－1(t)dt=∫₀^xt

dt，
其中f^－1是f的反函数，求f(x)。

选项

答案在∫₀^f(x)f^－1(t)dt=∫₀^xt[*]dt 的两边同时对x求导得 f^－1[f(x)]f^’(x)=[*]，也就是xf^’(x)=[*]，即 f^’(x)=[*]，两边再分别积分得f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。 (*) 将x=0代入题中的已知方程可得 ∫₀^f(0)f^－1(t)dt=∫₀⁰t[*]dt=0。由于f(x)是区间[0，[*]]上单调、可导的函数，则f^－1(x)的值域为[0，[*]]，且为单调非负的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。

解析

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