设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，f″(x)≠0，则( )．

admin2019-06-06 56

问题设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，f″(x)≠0，则( )．

选项 A、f′(x)在(a，b)内没有零点
B、f′(x)在(a，b)内只有一个零点
C、f′(x)在(a，b)内至少有一个零点
D、f′(x)在(a，b)内零点个数不能确定

答案B

解析因f(a)=f(b)，首选罗尔定理证之，再用反证法证明f′(x)只有一个零点．
解因为f(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，f(a)=f(b)，由罗尔定理知，至少存在ξ∈(a，b)，使得
f′(ξ)=0．
如果f′(x)在(a，b)内有两个零点ξ₁，ξ₂(ξ₁≠ξ₂)，则函数f′(x)在[ξ₁，ξ₂]上仍满足罗尔定理条件，则在ξ₁，ξ₂之间存在已，使
f″(ξ₃)=0，
这与在[a，b]上．f″(x)≠0矛盾．

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