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设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
admin
2020-03-05
32
问题
设α，β为3维列向量，矩阵A=αα
T
+ββ
T
，其中α
T
，β
T
分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
选项
答案
(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(αα
T
+ββ
T
)≤r(αα
T
)+r(ββ
T
)≤r(α)+r(β)． 又α，β均为3维列向量，则r(α)≤1，r(β})≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)方法1°当α，β线性相关时，不妨设β=kα，则 r(A)=r(αα
T
+K
2
ββ
T
)=r[(1+k
2
)αα
T
]=r(αα
T
)≤r(α)≤1＜2． 方法2°因为齐次方程组α
T
x=0有2个线性无关的解，设为η
1
，η
2
，那么 α
T
η
1
=0，α
T
η
2
=0． 若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 β
T
η
1
=(kα)
T
η
1
=kα
T
η
1
=0， β
T
η
2
=(kα)
T
η
2
=kα
T
η
2
=0． 于是 Aη
1
=(αα
T
+ββ
T
)η
1
=0， Aη
2
=(αα
T
+ββ
T
)η
2
=0， 即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n—r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OwS4777K
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考研数学一
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