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设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn, (I)求θ的最大似然估计量; (Ⅱ)求随机变量的分布函数; (Ⅲ)求随机变量的数学期望.
设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn, (I)求θ的最大似然估计量; (Ⅱ)求随机变量的分布函数; (Ⅲ)求随机变量的数学期望.
admin
2020-09-23
56
问题
设总体X的概率密度为f(x;θ)=
其中θ>0是未知参数.从总体中抽取简单随机样本X
1
,X
2
,…,X
n
,
(I)求θ的最大似然估计量
;
(Ⅱ)求随机变量
的分布函数
;
(Ⅲ)求随机变量
的数学期望
.
选项
答案
(I)样本的似然函数为 [*] 取对数,得[*] 因为[*],则L(θ)是θ的单调增函数, 又因为θ<x
1
,θ<x
2
,…,θ<x
n
,所以当θ=min{x
1
,x
2
,…,x
n
}时L(θ)最大. 故θ的最大似然估计量[*]=min{X
1
,X
2
,…,X
n
}. (Ⅱ)总体X的分布函数为F
X
(x)=∫
-∞
x
f(t;θ)dt. 当x≤θ时,F
X
(x)=0; 当x>0时,F
X
(x)=∫
θ
x
2e
-2(t-θ)
dt=1-e
-2(x-θ)
, 故总体X的分布函数F
X
(x)为 [*] [*]的分布函数为 [*]=P{min{X
1
,X
2
,…,X
n
}≤x}=1一P(min{X
1
,X
2
,…,X
n
}>x} =1一P{X
1
>x)P{X
2
>x}.….P{X
n
>x}=1一[1一F
X
(x)]
n
[*] (Ⅲ)由(Ⅱ)知,[*]的概率密度为 [*] 故随机变量[*]的数学期望为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/P0v4777K
0
考研数学一
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