2. 考研
  3. 设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn， (I)求θ的最大似然估计量； (Ⅱ)求随机变量的分布函数； (Ⅲ)求随机变量的数学期望．

设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn， (I)求θ的最大似然估计量； (Ⅱ)求随机变量的分布函数； (Ⅲ)求随机变量的数学期望．

admin2020-09-23  51
问题 设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，
(I)求θ的最大似然估计量；
(Ⅱ)求随机变量的分布函数；
(Ⅲ)求随机变量的数学期望．
选项
答案(I)样本的似然函数为 [*] 取对数，得[*] 因为[*]，则L(θ)是θ的单调增函数， 又因为θ＜x1，θ＜x2，…，θ＜xn，所以当θ=min{x1，x2，…，xn}时L(θ)最大． 故θ的最大似然估计量[*]=min{X1，X2，…，Xn}． (Ⅱ)总体X的分布函数为FX(x)=∫-∞xf(t；θ)dt． 当x≤θ时，FX(x)=0； 当x＞0时，FX(x)=∫θx2e-2(t-θ)dt=1-e-2(x-θ)， 故总体X的分布函数FX(x)为 [*] [*]的分布函数为 [*]=P{min{X1，X2，…，Xn}≤x}=1一P(min{X1，X2，…，Xn}＞x} =1一P{X1＞x)P{X2＞x}.….P{Xn＞x}=1一[1一FX(x)]n [*] (Ⅲ)由(Ⅱ)知，[*]的概率密度为 [*] 故随机变量[*]的数学期望为 [*]
解析
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考研数学一

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