设A*为n阶矩阵A的伴随矩阵，则( )．

admin2021-07-27 61

问题设A^*为n阶矩阵A的伴随矩阵，则( )．

选项 A、A^*=｜A｜A^-1
B、｜A^*｜=1
C、｜A^*｜=｜A｜ⁿ
D、｜A^*｜=｜A｜^n-1

答案D

解析若A^*为n阶矩阵A的伴随矩阵，许多同学会联想到公式A^*=｜A｜A^-1，这是不对的，因为矩阵A未必可逆，涉及伴随矩阵的更为一般的公式应是AA^*==A^*A=｜A｜E，进而有｜A｜｜A^*｜=｜｜A｜E｜=｜A｜ⁿ．于是，若｜A｜≠0，则｜A^*｜=｜A｜^n-1，若｜A｜=0，则也必有｜A^*｜=0，｜A^*｜=｜A｜^n-1，否则，由｜A^*｜≠0，有A^*A=｜A｜E=O，从而推出A=O，A^*=O，与｜A^*｜≠0矛盾，因此，等式｜A^*｜=｜A｜^n-1总成立，故选(D)．

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