2. 考研
  3. 已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．

admin2018-06-15  71
问题 已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．
选项
答案设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图8．1)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为 [*] V=1／3πh2b． 又设三角形的面积为S，于是有 [*] 所以V=4πp／3b(p－a)(p－b)(p－c)． 问题化成求V(a，b，c)在条件a+b+c－2p=0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)=ln1／b(p－a)(p－b)(p－c)=ln(p－a)+ln(p－b)+ln(p－c)－lnb在条件a+b+c－2p=0下的最大值点． 用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c－2p)，求解方程组 [*] 比较①，③得a=c，再由④得b=2(p－a)． ⑤ 比较①，②得b(p－b)=(p－a)p． ⑥ 由⑤，⑥解出b=p／2，a=3／4p，又c=a=3／4p． 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为p／2，3／4p，3／4p时，绕边长为号的边旋转时，所得立体体积最大．
解析
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考研数学一

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