2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证：必存在ξ∈(0，3)，使f′(ξ)=0．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证：必存在ξ∈(0，3)，使f′(ξ)=0．

admin2020-05-02  29
问题 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证：必存在ξ∈(0，3)，使f′(ξ)=0．
选项
答案因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上也连续，从而f(x)在[0，2]上 可取到最大值M和最小值m，于是 m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M 故 [*] 由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使 [*] 又因为f(x)在[c，3][*][0，3]上连续，在(c，3)可导，且f(c)=1=f(3)，由罗尔定理知必存在ξ∈(c，3)[*](0，3)，使f′(ξ)=0．
解析
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考研数学一

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