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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f′(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f′(ξ)=0.
admin
2020-05-02
22
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f′(ξ)=0.
选项
答案
因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上也连续,从而f(x)在[0,2]上 可取到最大值M和最小值m,于是 m≤f(0)≤M,m≤f(1)≤M,m≤f(2)≤M 故 [*] 由介值定理知,至少存在一点c∈[0,2],使 [*] 又因为f(x)在[c,3][*][0,3]上连续,在(c,3)可导,且f(c)=1=f(3),由罗尔定理知必存在ξ∈(c,3)[*](0,3),使f′(ξ)=0.
解析
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考研数学一
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