二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． ①求f(χ1，χ2，χ3)的矩阵的特征值． ②如果f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，求a．

admin2019-02-23 34

问题二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝aχ₁²＋aχ₂²＋(a－1)χ₃²＋2χ₁χ₃－2χ₂χ₃．
①求f(χ₁，χ₂，χ₃)的矩阵的特征值．
②如果f(χ₁，χ₂，χ₃)的规范形为y₁²＋y₂²，求a．

选项

答案①f(χ₁，χ₂，χ₃)的矩阵为A＝[*] 记B＝[*]则A＝B＋aE．求出B的特征多项式｜λE－B｜＝λ³＋λ²－2λ＝λ(λ＋2)(λ－1)，B的特征值为－2，0，1，于是A的特征值为a－2，a，a＋1． ②因为f(χ₁，χ₂，χ₃)的规范形为y₁²＋y₂²时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a＝2．

解析

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考研数学二

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二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． ①求f(χ1，χ2，χ3)的矩阵的特征值． ②如果f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，求a．

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