已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,—1,3)T,又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,—3,1,0)T, (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)如果齐次线

admin2015-04-30  25

问题 已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是
    η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,—1,3)T,又知齐次方程组Bx=0的基础解系是
    β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,—3,1,0)T
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)如果齐次线性方程组Az=0与Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.

选项

答案(Ⅰ)记C=(η1,η2),由AC=A(η1,η2)=0知CTAT=0,则矩阵AT的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次线性方程组CTx=0的解.对CT作初等行变换,有 [*] 得到CTx=0的基础解系为α=(3,一1,1,0)T,α=(一5,1,0,1)T.所以矩阵A=[*] (Ⅱ)设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ,则γ既可由η1,η2线性表出,也可由β1,β2线性表出,故可设 y=x1η1+x2η2=一x3β1一x4β2,于是 x1η1+x2η2+x3β1一x4β2=0.对(η1,η2,β1,β2)作初等行变换,有 [*] 当a=0时,解出x4=t,x3=一t,x2=一t,x1=2t. 因此Ax=0与Bx=0的公共解为y=2tη1—tη2=t(1,4,1,1)T,其中t为任意常数.

解析
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