2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x． 若f(x)在(－∞，α)，(2，β)单调增加，在(α，2)，(β，+∞)单调减少，证明β－α＞6．

已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x． 若f(x)在(－∞，α)，(2，β)单调增加，在(α，2)，(β，+∞)单调减少，证明β－α＞6．

admin2019-06-01  12
问题 已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x．
若f(x)在(－∞，α)，(2，β)单调增加，在(α，2)，(β，+∞)单调减少，证明β－α＞6．
选项
答案f＇(x)=－(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=－e-x[x3+(a－6)x+b－a]． 由条件得：f＇(2)=0，即23+2(a－6)+b－a=0，故b=4－a，从而f＇(x)=－e-x[x3+(a－6)x+4—2a]．因为f＇(α)=f＇(β)=0，所以x3+(a－6)x+4—2a=(x－2)(x－α)(x—β)=(x－2)[x2－(α+β)x+αβ]．将右边展开，与左边比较系数得，α+β=－2，αβ=α－2．故β—α=[*] 又(β－2)(α－2)＜0，即β－2(α+β)+4＜0，由此可得α＜－6．于是β－α＞6．
解析
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