设函数f(x)在[-a，a](a＞0)上连续，证明∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx。

admin2015-06-14 10

问题设函数f(x)在[-a，a](a＞0)上连续，证明∫_-a^af(x)dx=∫₀^a[f(x)+f(-x)]dx。

选项

答案∫_-a^af(x)dx=∫_-a⁰f(x)dx+∫₀^af(x)dx。对于∫_-a⁰f(x)dx，令x=-t，则 ∫_-a⁰f(x)dx=-∫_a⁰f(-t)dt =∫_a⁰f(-t)dt=∫_a⁰f(-x)dx。所以∫_-a^af(x)dx=∫₀^af(-x)dx+∫₀^af(x)dx=∫₀^a[f(-x)+f(x)]dx。

解析本题利用定积分的性质证明等式成立。

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