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设α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β1＝α1＋2α2，β2＝α1＋α2也是方程组Ax＝0的一个基础解系．
设α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β1＝α1＋2α2，β2＝α1＋α2也是方程组Ax＝0的一个基础解系．
admin
2018-08-22
40
问题
设α
1
，α
2
是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β
1
＝α
1
＋2α
2
，β
2
＝α
1
＋α
2
也是方程组Ax＝0的一个基础解系．
选项
答案
由Aα
1
＝0，Aα
2
＝0，得 Aβ
1
＝A(α
1
＋2α
2
)＝0，Aβ
2
＝A(2α
1
＋α
2
)＝0， 可知β
1
，β
2
也是方程组Ax＝0的解． 设有常数k
1
，k
2
使得k
1
β
1
＋k
2
β
2
＝0，即 k
1
(α
1
＋2α
2
)+k
2
(2α
1
＋α
2
)＝0， 整理为(k
1
＋2k
2
)α
1
＋(2k
1
＋k
2
)α
2
＝0． 由于α
1
，α
2
线性无关，得到[*]，推出k
1
＝k
2
＝0, 因此β
1
，β
2
线性无关。 由于α
1
，α
2
是Ax＝0的基础解系，故该方程组的任意两个线性无关的解都是它的基础解系．从而β
1
，β
2
也是Ax＝0的基础解系．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QayR777K
本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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