设α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β1＝α1＋2α2，β2＝α1＋α2也是方程组Ax＝0的一个基础解系．

admin2018-08-22 43

问题设α₁，α₂是齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系，证明β₁＝α₁＋2α₂，β₂＝α₁＋α₂也是方程组Ax＝0的一个基础解系．

选项

答案由Aα₁＝0，Aα₂＝0，得 Aβ₁＝A(α₁＋2α₂)＝0，Aβ₂＝A(2α₁＋α₂)＝0，可知β₁，β₂也是方程组Ax＝0的解．设有常数k₁，k₂使得k₁β₁＋k₂β₂＝0，即 k₁(α₁＋2α₂)+k₂(2α₁＋α₂)＝0，整理为(k₁＋2k₂)α₁＋(2k₁＋k₂)α₂＝0．由于α₁，α₂线性无关，得到[*]，推出k₁＝k₂＝0, 因此β₁，β₂线性无关。由于α₁，α₂是Ax＝0的基础解系，故该方程组的任意两个线性无关的解都是它的基础解系．从而β₁，β₂也是Ax＝0的基础解系．

解析

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线性代数（经管类）

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