设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件是( )

admin2017-09-07  22

问题 设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件是(  )

选项 A、向量组α1,α2,…,αm可以由β1,β2,…,βm线性表示.
B、向量组β1,β2,…,βm可以由α1,α2,…,αm线性表示.
C、向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价.
D、矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,βm)等价.

答案D

解析 设α1=(1,0,0,0)T,α2=(0,1,0,0)T;β1=(0,0,1,0)T,β2=(0,0,0,1)T各自都线性无关,但它们之间不能相互线性表示,故排除A、B;既然不能相互线性表示,则不可能有等价关系,故排除C.D选项:因为n维向量组α1,α2,…,αm无关,则R(α1,α2,…,αm)=m,同理,由n维向量组β1,β2,…,βm无关得R(β1,β2,…,βm)=m,故设A=(α1,α2,…,αm),B=(β1,β2,…,βm),A与B同型,且R(A)=R(B),由矩阵等价的充要条件得A与B等价.
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