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  3. 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是( )

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是( )

admin2017-09-07  47
问题 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是(  )
选项 A、向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示．
B、向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示．
C、向量组α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm等价．
D、矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价．
答案D
解析 设α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T；β1=(0，0，1，0)T，β2=(0，0，0，1)T各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，故排除A、B；既然不能相互线性表示，则不可能有等价关系，故排除C．D选项：因为n维向量组α1，α2，…，αm无关，则R(α1，α2，…，αm)=m，同理，由n维向量组β1，β2，…，βm无关得R(β1，β2，…，βm)=m，故设A=(α1，α2，…，αm)，B=(β1，β2，…，βm)，A与B同型，且R(A)=R(B)，由矩阵等价的充要条件得A与B等价．
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考研数学一

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