2. 考研
  3. 已知A是三阶矩阵，a1，a2，a3是线性无关的三维列向量，满足 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩．

已知A是三阶矩阵，a1，a2，a3是线性无关的三维列向量，满足 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩．

admin2019-07-28  58
问题 已知A是三阶矩阵，a1，a2，a3是线性无关的三维列向量，满足
   
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值；
    (Ⅱ)求矩阵A的特征向量；
    (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩．
选项
答案求特征值既可用特征多项式求之，也可根据相似矩阵有相同的特征值求之．特征向量既可用解齐次方程组(λiE一A)X=0求之，也可用P-1AP=A求之，其中P的各个列向量就是A的特征值所对应的特征向量． 解 (Ⅰ)据已知条件，有 A[α1，α2，α3]=[—α1—3α2—3α3，4α1+4α2+α3，一2α1+3α3] [*] 那么由α1，α2，α3线性无关知，矩阵P1=[α1，α2，α3]可逆，且P1-1AP1=B，即A与B相似．由矩阵B的特征多项式 [*] 得矩阵B的特征值为1，2，3，从而矩阵A的特征值也是1，2，3． (Ⅱ)由(E—B)x=0得基础解系 β1=[1，1，1]T， 即为矩阵B属于特征值λ=1的特征向量；由(2E—B)x=0得基础解系 β2=[2，3，3]T， 即为矩阵B属于特征值λ=2的特征向量；由(3E—B)x=0得基础解系 β3=[1，3，4]T， 即为矩阵B属于特征值λ=3的特征向量． 那么令P2=[β1，β2，β3]，则有P2-1BP2=[*]．于是令 [*] =[α1+α2+α3，2α1+3α2+3α3，α1+3α2+4α3]， 则有P-1AP=(P1P2)-1A(P1P2)=P2-1(P1-1AP1)P2 [*] 故矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为 k1(α1+α2+α3)， k2(2α1+3α2+3α3)， k3(α1+3α2+4α3)， 其中k1，k2，k3≠0． (Ⅲ)由[*]及∣A∣=6知， [*] 从而 [*] 所以秩(A*一6E)=2．
解析
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考研数学二

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