2. 考研
  3. 设随机变量X～B(1，)，Y～E(1)，且X与Y相互独立．记Z=(2X一1)Y，(Y，Z)的分布函数为F(y，z)．试求： (Ⅰ)Z的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)F(2，一1)的值．

设随机变量X～B(1，)，Y～E(1)，且X与Y相互独立．记Z=(2X一1)Y，(Y，Z)的分布函数为F(y，z)．试求： (Ⅰ)Z的概率密度fZ(z)； (Ⅱ)F(2，一1)的值．

admin2016-10-26  77
问题 设随机变量X～B(1，)，Y～E(1)，且X与Y相互独立．记Z=(2X一1)Y，(Y，Z)的分布函数为F(y，z)．试求：
(Ⅰ)Z的概率密度fZ(z)；
(Ⅱ)F(2，一1)的值．
选项
答案(Ⅰ) [*] 于是 fZ(z)=F′Z(z)=[*]，一∞＜z＜+∞． (Ⅱ)F(2，一1)=P{Y≤2，Z≤－1}=P{Y≤2，(2X一1)Y≤－1} =P{X=0}P{Y≤2，(2X一1)Y≤一1｜X=0}+P{X=1}P｜Y≤2，(2x一1)Y≤一1｜X=1} [*]
解析 X～B(1一)即，2X一1也为离散分布：；Y～E(1)，记Y的分布函数为FY(y)，密度函数为fY(y)，则

由于Z=(2X—1)Y是离散型与连续型的结合，故有分布函数
FZ(z)=P{Z≤z} =P{(2X一1)Y≤z}
=P{(2X一1)Y≤z，X=0}+P{(2X一1)Y≤z，X=1}
=P{一Y≤z}P{X=0}+P{Y≤z，X=1}
=P{一Y≤z}P{X=0}+P{Y≤z}P{X=1}
=P{一Y≤z}+P{Y≤z}．
或者用全概率公式：
FZ(z)=P{Z≤z}=P{(2X一1)Y≤z}
=P{X=0}P{(2X一1)Y≤z｜X=0}+P{X=1}P{(2X一1)Y≤z｜X=1}
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考研数学一

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