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设随机变量X~B(1,),Y~E(1),且X与Y相互独立.记Z=(2X一1)Y,(Y,Z)的分布函数为F(y,z).试求: (Ⅰ)Z的概率密度fZ(z); (Ⅱ)F(2,一1)的值.
设随机变量X~B(1,),Y~E(1),且X与Y相互独立.记Z=(2X一1)Y,(Y,Z)的分布函数为F(y,z).试求: (Ⅰ)Z的概率密度fZ(z); (Ⅱ)F(2,一1)的值.
admin
2016-10-26
40
问题
设随机变量X~B(1,
),Y~E(1),且X与Y相互独立.记Z=(2X一1)Y,(Y,Z)的分布函数为F(y,z).试求:
(Ⅰ)Z的概率密度f
Z
(z);
(Ⅱ)F(2,一1)的值.
选项
答案
(Ⅰ) [*] 于是 f
Z
(z)=F′
Z
(z)=[*],一∞<z<+∞. (Ⅱ)F(2,一1)=P{Y≤2,Z≤-1}=P{Y≤2,(2X一1)Y≤-1} =P{X=0}P{Y≤2,(2X一1)Y≤一1|X=0}+P{X=1}P|Y≤2,(2x一1)Y≤一1|X=1} [*]
解析
X~B(1一
)即
,2X一1也为离散分布:
;Y~E(1),记Y的分布函数为F
Y
(y),密度函数为f
Y
(y),则
由于Z=(2X—1)Y是离散型与连续型的结合,故有分布函数
F
Z
(z)=P{Z≤z} =P{(2X一1)Y≤z}
=P{(2X一1)Y≤z,X=0}+P{(2X一1)Y≤z,X=1}
=P{一Y≤z}P{X=0}+P{Y≤z,X=1}
=P{一Y≤z}P{X=0}+P{Y≤z}P{X=1}
=
P{一Y≤z}+
P{Y≤z}.
或者用全概率公式:
F
Z
(z)=P{Z≤z}=P{(2X一1)Y≤z}
=P{X=0}P{(2X一1)Y≤z|X=0}+P{X=1}P{(2X一1)Y≤z|X=1}
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Rnu4777K
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考研数学一
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