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  3. 设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O，其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O，其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

admin2020-09-23  44
问题 设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O，其中B=
(I)用正交变换化二次型f为标准形；
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．
选项
答案(I)二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O，知λ1=0是矩阵A的特征值，B的列向量α1=(1，0，1)T是A的特征值λ1=0对应的特征向量，所以Aα1=λ1α1，即 [*] 于是[*]解得a=一1，b=1，c=一4． 由|λE—A|=[*]=λ(λ一6)(λ+6)=0，得矩阵A的特征值为λ1=0， λ2=6，λ3=一6． 当λ2=6时，由(6E—A)x=0，得A的特征值λ2=6对应的特征向量α2=(1，2．一1)T； 当λ3=一6时，由(一6E—A)x=0，得A的特征值λ3=一6对应的特征向量α3=(-1．1，1)T，将α1，α2，α3单位化，得 [*] 取P=(η1，η2，η3)=[*]，则P是正交矩阵，且 P-1AP=P1AP=A=[*] 令x=Py，则x=Py即为所求正交变换，从而 f=xTAx=yT(PTAP)y=6y22一6y32． 即为二次型f的标准形． (Ⅱ)不合同，因为f=xTAx=6y22一6y32，xTBx=x12+2x1x3+x32=(x1+x3)2． 令[*]则xTBx=y12，xTAx的正、负惯性指数分别为1，1，而xTBx的正惯性指数为1，负惯性指数为0，所以A与B不合同．
解析
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考研数学一

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