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已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+t α4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的一个基础解系。
已知α1,α2,α3,α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+t α4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是Ax=0的一个基础解系。
admin
2014-06-15
48
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是线性方程组Ax=0的一个基础解系,若β
1
=α
1
+tα
2
,β
2
=α
2
+tα
3
,β
3
=α
3
+t α
4
,β
4
=α
4
+tα
1
,讨论实数t满足什么关系时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也是Ax=0的一个基础解系。
选项
答案
由于β
1
,β
2
,β
3
,β
4
均为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的线性组合,所以β
1
,β
2
,β
3
,β
4
均为Ax=0的解.下面证明β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关.设k
1
β
1
,k
2
β
2
,k
3
β
3
,k
4
β
4
=0,即(k
1
+tk
4
)α
1
+(tk
1
+k
2
)α
1
+(tk
2
+k
3
)α
1
+(tk
3
+k
4
)α
4
=0, 由于α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,因此其系数全为零,即 [*]=1-t
4
可见,当1-t
4
≠0,即t≠±1时,上述方程组只有零解k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0,因此向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,又因Ax=0的基础解系是4个向量,故β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也是Ax=0的一个基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SD34777K
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考研数学二
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