设曲线y=y(x)位于第一-象限且在原点处的切线与x轴相切,P(x,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l1,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l2,又满足x(3l1+2)=2(x +1)l2,求曲线y=y(x).

admin2021-02-27 20

问题设曲线y=y(x)位于第一-象限且在原点处的切线与x轴相切,P(x,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l₁,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l₂,又满足x(3l₁+2)=2(x +1)l₂,求曲线y=y(x).

选项

答案由已知条件得y(0)=0,y’(0)=0, [*] P(x,y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x) 令X=0,则Y=y-xy’,A的坐标为（0，y-xy’), [*] 由x(3l₁+2)=2(x+1)l₂得[*] 两边对x求导整理得1+y’²=2(x+1)y’y" 令y’=p,y"=[*],代入得1+p²=2(x+1)p[*] 变量分离得[*] 积分得ln(1+p²)=ln(x+1)+lnC₁,即1+p²=C₁(x+1), 由初始条件得C₁=1,即p=±[*] 再由y(0)=0得C₂=0,故所求曲线为y²=[*]x³

解析

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考研数学一

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设曲线y=y(x)位于第一-象限且在原点处的切线与x轴相切,P(x,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l1,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l2,又满足x(3l1+2)=2(x +1)l2,求曲线y=y(x).

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