2. 考研
  3. 设αi＝(ai1，ai2…，ain)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β＝(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

设αi＝(ai1，ai2…，ain)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β＝(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

admin2019-03-21  48
问题 设αi＝(ai1，ai2…，ain)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β＝(b1，b2，…，bn)T是线性方程组

    的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案线性无关．证明如下：由题设条件有b1ai1＋b2ai2＋…＋bnain＝βTαi＝0(i＝1，2，…，r)．设k1α1＋…＋krαr＋kk+1β＝0，用βT左乘用βTα左乘两端并利用βTαi＝0及βTβ＝‖β2‖＞0，得kr+1＝0，[*]k1α1＋…＋krαr＝0，又α1，…，αr线性无关，[*]k1＝…＝kr＝0．故α1，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学二

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