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  3. 求曲面积分I=xz2dydz－sinxdxdy，其中S为曲线(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

求曲面积分I=xz2dydz－sinxdxdy，其中S为曲线(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

admin2016-10-26  100
问题 求曲面积分I=xz2dydz－sinxdxdy，其中S为曲线(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．
选项
答案在S∪S1∪S2围成的区域Ω上应用高斯公式，因边界取内法向，故 [*] 其中Ω为z2+1=x2+y2与z=1，z=2所围，圆D(z)的半径为[*]．又 [*]xz2dydz－sinxdxdy=[*]－sinxdxdy =[*]－sinxdxdy=0(i=1时公式取“-”，i=2时公式取“+”)， 其中Si与yz平面垂直(i=1，2)，Di为Si在xy平面上的投影区域分别是圆域x2+y2≤5，x2+y2≤2． 因此 I=[*]
解析 首先求出曲面S的方程：x2+y2=1+z2(1≤z≤2)，法向量朝上．
记P=xz2，Q=O，R=－sinx，则=z2较简单，但S不是封闭曲面，为了用高斯公式，添加辅助面S1：z=2(x2+y2≤5)，法向量朝下；S2：z=1(x2+y2≤2)，法向量朝上．在S∪S1∪S2围成的区域Ω上可用高斯公式来计算．
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考研数学一

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