2. 考研
  3. 设A，B是n阶可逆阵，且A～B，则①A-1～B-1．②AT～BT．③A*～B*．④AB～BA．其中正确的项数是( )

设A，B是n阶可逆阵，且A～B，则①A-1～B-1．②AT～BT．③A*～B*．④AB～BA．其中正确的项数是( )

admin2014-04-16  35
问题 设A，B是n阶可逆阵，且A～B，则①A-1～B-1．②AT～BT．③A*～B*．④AB～BA．其中正确的项数是(    )
选项 A、1．
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 A～B，有｜A｜=｜B｜，且存在可逆阵P，使P-1AP=B，(*)(*)式两边求逆得P-1A-1P=B-1，(**)从而A-1～B-1(①成立)．(*)式两边转置，得pTAT(P-1)T=BT，记(P-1)T=Q，pT=Q-1，即Q-1ATQ=BT，从而AT～BT(②成立)．(**)式两边乘｜A｜，P-1｜A｜A-1P=P-1A*P=｜B｜B-1=B*，从而A*～B*(③成立)．因A可逆，故BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A，即AB~BA(④成立)．故应选D．
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考研数学二

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