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设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关. (1)若n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关,则向量组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βm线性表出; (2)若n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关,则向量组β1,
设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关. (1)若n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关,则向量组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βm线性表出; (2)若n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关,则向量组β1,
admin
2016-03-01
63
问题
设n维列向量组α
1
,α
2
,…,α
m
(m<n)线性无关.
(1)若n维列向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,则向量组α
1
,α
2
,…,α
m
可由向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性表出;
(2)若n维列向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,则向量组β
1
,β
2
,…,β
m
可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线件表出:
(3)若n维列向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,则向量组α
1
,α
2
,…,α
m
与向量组β
1
,β
2
,…,β
m
等价;
(4)n维列向量β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关的充分必要条件是矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
m
)的秩等于矩阵B=(β
1
,β
2
,…,β
m
)的秩.
上述命题中,正确命题的个数为[ ]个.
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
A
解析
设α
1
=(1,0,0)
T
,α
2
=(0,1,0)
T
,β
1
=(1,0,0)
T
,β
2
=(0,0,1)
T
,则α
1
,α
2
线性无关,β
1
,β
2
也线性无关.但α
2
不能由β
1
,β
2
线性表出,β
2
也不能由α
1
,α
2
线性表出,因此命题
(1),命题(2)都是错误的,从而命题(3)也是错误的.由排除法,只有命题(4)是正确的.
故选(A).
事实上,可以证明命题(4)是正确的:
必要性若向量组β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关.则矩阵B=(β
1
,β
2
,…,β
m
)的秩r(B)=m,由题设向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,因此矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
m
)的秩r(A)=m.从而有r(A)=r(B).
充分性 因r(A)=r(B),即r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=r(β
1
,β
2
,…,β
m
).又α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,因此r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=m,故r(β
1
,β
2
,…,β
m
)=m,即β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关.
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