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设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
admin
2017-08-28
85
问题
设向量α
1
，α
2
，...，α
t
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
选项
答案
(定义法) 若有一组数k,k
1
，k
2
，...，k
t
，使得 kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+…k
t
(β+α
t
)=0， ① 则因α
1
，α
2
，...，α
t
是Ax=0的解，知Aα
i
=0(i=1，2，…，t)，用A左
解析
(用秩) 经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有
(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)→(β，α
1
，α
2
，...，α
t
)．
因此 r(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)=r(β,α
1
，α
2
，...，α
t
)．
由于α
1
，α
2
，...，α
t
是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α
1
，α
2
，...，α
t
)=t，又β必不能由α
1
，α
2
，...，α
t
线性表出(否则Aft=0)，故r(α
1
，α
2
，...，α
t
,β)=t+1．
所以 r(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)=t+1．
即向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U2r4777K
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