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已知椭圆=1，两焦点之间的距离为4． 过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点， ①求证：OA⊥OB； ②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．
已知椭圆=1，两焦点之间的距离为4． 过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点， ①求证：OA⊥OB； ②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．
admin
2017-10-16
13
问题
已知椭圆
=1，两焦点之间的距离为4．
过椭圆的右顶点作直线交抛物线y
2
=4x于A、B两点，
①求证：OA⊥OB；
②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．
选项
答案
①证明：设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB的方程为x=my+4． 代入抛物线方程y
2
=4x，得y
2
一4my一16=0． 设A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)，则[*]=x
1
x
2
+y
1
y
2
=(my
1
+4)(my
2
+4)+y
1
y
2
=(1+m
2
)y
1
y
2
+4m(y
1
+y
2
)+16=0． ∴OA⊥OB． ②解：设D(x
3
，y
3
)，E(x
4
，y
4
)，直线DE的方程为x=ty+λ，代入[*]=1，得(3t
2
+4)y
2
+6tλy+3λ
2
一48=0． 于是y
3
+y
4
=[*]． 从而x
3
x
4
=(ty
3
+λ)(ty
4
+λ)=[*]． ∵OD⊥OE，∴x
3
x
4
+y
3
y
4
=0． 代入，整理得7λ
2
=48(t
2
+1)． ∴原点到直线DE的距离d=[*]为定值．
解析
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