已知椭圆=1，两焦点之间的距离为4．过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点， ①求证：OA⊥OB； ②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．

admin2017-10-16 11

问题已知椭圆

=1，两焦点之间的距离为4．
过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=4x于A、B两点，
①求证：OA⊥OB；
②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．

选项

答案①证明：设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB的方程为x=my+4．代入抛物线方程y²=4x，得y²一4my一16=0．设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则[*]=x₁x₂+y₁y₂=(my₁+4)(my₂+4)+y₁y₂=(1+m²)y₁y₂+4m(y₁+y₂)+16=0． ∴OA⊥OB． ②解：设D(x₃，y₃)，E(x₄，y₄)，直线DE的方程为x=ty+λ，代入[*]=1，得(3t²+4)y²+6tλy+3λ²一48=0．于是y₃+y₄=[*]．从而x₃x₄=(ty₃+λ)(ty₄+λ)=[*]． ∵OD⊥OE，∴x₃x₄+y₃y₄=0．代入，整理得7λ²=48(t²+1)． ∴原点到直线DE的距离d=[*]为定值．

解析

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已知椭圆=1，两焦点之间的距离为4．过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点， ①求证：OA⊥OB； ②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．

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