2. 公务员
  3. 已知椭圆=1，两焦点之间的距离为4． 过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点， ①求证：OA⊥OB； ②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．

已知椭圆=1，两焦点之间的距离为4． 过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点， ①求证：OA⊥OB； ②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．

admin2017-10-16  12
问题 已知椭圆=1，两焦点之间的距离为4．
过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点，
①求证：OA⊥OB；
②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线加的垂线伽，垂足为M，证明｜OM｜为定值．
选项
答案①证明：设过椭圆的右顶点(4，0)的直线AB的方程为x=my+4． 代入抛物线方程y2=4x，得y2一4my一16=0． 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则[*]=x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16=0． ∴OA⊥OB． ②解：设D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线DE的方程为x=ty+λ，代入[*]=1，得(3t2+4)y2+6tλy+3λ2一48=0． 于是y3+y4=[*]． 从而x3x4=(ty3+λ)(ty4+λ)=[*]． ∵OD⊥OE，∴x3x4+y3y4=0． 代入，整理得7λ2=48(t2+1)． ∴原点到直线DE的距离d=[*]为定值．
解析
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