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  3. 设A是n阶矩阵，A的第i行、第i列的元素aii=i.j，求 A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

设A是n阶矩阵，A的第i行、第i列的元素aii=i.j，求 A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

admin2014-04-23  63
问题 设A是n阶矩阵，A的第i行、第i列的元素aii=i.j，求
A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．
选项
答案由A的特征多项式[*]故A有特征值．[*]当λ1=λ2=…=λn-1=0时，方程组(λE一A)x=0就是方程组Ax=0，其同解方程组是x1+2x2+…+nxn=0，解得对应的线性无关特征向量为ξ1=[一2，1，0，…，0]T，ξ2=[一3，0，1，0，…，0]T，…，ξn-1=[一n，0，…，0，1]T．当[*]时，(λnE—A)x=0，对系数矩阵作初等行变换，得 [*][*] 方程组的同解方程组为[*]得对应的特征向量为ξn=[1，2，…，n]T．从而知A有n个线性无关特征向量，A～A，取 [*]则 [*] 法二 (I)由题设条件[*]中第i行元素是第1行的i倍．故有[*]其中α=[1，2，…，n]T≠0．故r(A)=1． (Ⅱ)因A2=(ααT)(ααT)=α(αTα)αT=(αTα)A=[*]，故知A的特征值为0，[*]当λ=0时，对应的特征向量满足Ax=ααTx=0，因αTα．[*] 在方程ααTx=0两边左乘αT．得 αT(ααTx)=(αTα)αTx=0。得αTx=0．当αTx=0时，两边左乘α，得ααTx=0，故方程组为ααTx=0与αTx=0是同解方程组．只需解方程组αTx=0，解得线性无关的特征向量为ξ1=[一2，1，0，…，0]T，ξ2=[一3，0，1，0，…，0]T，…，ξn-1=[一n,0，…，0．]T．又[*]故A有一个非零特征值[*]当[*]时，由(λnE—A)X=(αTαE—ααT)x=0。由观察知，x=α时，有(αTαE一ααT)α=(αTα)α=(ααT)α=(αTα)α=α(αTα)=0，故α=[1，2，…，n]T=ξn是对应[*]的特征向量．即A有n个线性无关的特征向量，A能相似于对角阵．(下同方法一)
解析
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考研数学一

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