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设f(x)在[-2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数F(1/n)绝对收敛.
设f(x)在[-2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫-xxf(x+t)dt,证明级数F(1/n)绝对收敛.
admin
2018-06-15
40
问题
设f(x)在[-2,2]上有连续的导数,且f(0)=0,F(x)=∫
-x
x
f(x+t)dt,证明级数
F(1/n)绝对收敛.
选项
答案
由于f(x)在[-2,2]上有连续的导数,则|f’(x)|在[-2,2]上连续,设M为|f’(x)|在[-2,2]上的最大值。则x∈[-1,1]时, F(x)=∫
-x
x
f(x+t)dt=∫
0
2x
f(u)du=∫
0
2x
f(u)d(u-2x) =f(u)(u-2x)|
0
2x
-∫
0
2x
f’(u)(u-2x)du =-∫
0
2x
f’(u)(u-2x)du, 由此可得|F(x)|≤M∫
0
2x
(2x-u)du=2Mx
2
,x∈[-1,1]. 因此|F(1/n)|≤2M/n
2
(n=1,2,…),由于[*]1/n
2
收敛,由比较判别法可得[*]|F(1/n)|收敛,即[*]F(1/n)绝对收敛.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UPg4777K
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考研数学一
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