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设函数f(x)=lnx+,数列{xn}满足lnxn+<1,证明xn存在,并求此极限。
设函数f(x)=lnx+,数列{xn}满足lnxn+<1,证明xn存在,并求此极限。
admin
2018-01-30
68
问题
设函数f(x)=lnx+
,数列{x
n
}满足lnx
n
+
<1,证明
x
n
存在,并求此极限。
选项
答案
令f
’
(x)=[*]<0,则x<1。于是f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以x=1是f(x)唯一的最小值点,且f(x)≥f(1)=1,从而有f(x
n
)=lnx
n
+[*]≥1。再结合题目中的条件有 [*] 所以x
n
<x
n+1
,0<x
n
<e,即数列{x
n
}单调递增且有界。由单调有界准则可知,极限[*]x
n
存在。 [*] 由前面讨论出的函数f(x)的性质可知[*]x
n
=a=1。
解析
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考研数学二
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