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已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．
已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．
admin
2016-10-27
81
问题
已知α
1
，α
2
，α
3
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
也是该方程组的一个基础解系．
选项
答案
由A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=0+0=0知，α
1
+α
2
是齐次方程组Ax=0的解．类似可知α
2
+α
3
，α
3
+α
1
也是Ax=0的解． 若k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+k
3
(α
3
+α
1
)=0，即 (k
1
+k
3
)α
1
+(k
1
+k
2
)α
2
+(k
2
+k
3
)α
3
=0， 因为α
1
，α
2
，α
3
是基础解系，它们是线性无关的，故 [*] 由于此方程组系数行列式D=[*]=2≠0，故必有k
1
=k
2
=k
3
=0，所以α
1
+α
2
，α
2
+α
3
， α
3
+α
1
线性无关． 根据题设，Ax=0的基础解系含有3个线性无关的向量，所以α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
是方程组Ax=0的基础解系．
解析
按基础解系的定义，要证三个方面：
①α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
是解；
②它们线性无关；
③向量个数等于n一r(A)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UTu4777K
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