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  3. 若f"(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内

若f"(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内

admin2014-01-26  55
问题 若f"(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内
选项 A、有极值点，无零点．   
B、无极值点，有零点．
C、有极值点，有零点．   
D、无极值点，无零点．   
答案B
解析 [详解]由题意可知，f(x)是一个凸函数，即f"(x)＜0，
且在点(1，1)处的曲率
而f’(1)＝－1，由此可得，f"(1)＝－2，
在[1，2]上，f’(x)≤f’(1)＝－1＜0，即f(x)单调减少，没有极值点．
南拉格朗日中值定理f(2)－f(1)＝f’(ε)＜－1，ε∈(1，2)．
所以f(2)＜0，而f(1)＝1＞0，由零点定理知，在(1，2)内f(x)有零点，故应选(B)．
[评注]此题有一定难度，需对基本概念熟练掌握．
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考研数学二

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