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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 存在η∈(a,b),使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 存在η∈(a,b),使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
admin
2021-11-25
47
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.证明:
存在η∈(a,b),使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
令g(x)=e
-x
f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0 由罗尔定理,存在η
1
∈(a,c),η
2
∈(c,b),使得g’(η
1
)=g’(η
2
)=0 而g’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f’(η
1
)-f(η
1
)=0,f’(η
2
)-f(η
2
)=0 令ψ(x)=e
-2x
[f’(x)-f(x)],ψ(η
1
)=ψ(η
2
)=0 由罗尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),使得ψ’(η)=0 而ψ’(x)=e
-2x
[f"(x)-3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0 所以f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/V7y4777K
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考研数学二
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