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已知下列非齐次线性方程组: (Ⅰ)求解方程组(a). (Ⅱ)当方程组(b)中的参数a,b,c为何值时,方程组(a)与(b)同解.
已知下列非齐次线性方程组: (Ⅰ)求解方程组(a). (Ⅱ)当方程组(b)中的参数a,b,c为何值时,方程组(a)与(b)同解.
admin
2016-03-16
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问题
已知下列非齐次线性方程组:
(Ⅰ)求解方程组(a).
(Ⅱ)当方程组(b)中的参数a,b,c为何值时,方程组(a)与(b)同解.
选项
答案
(Ⅰ)对(a)中的增广矩阵作初等行变换, [*] 取χ
4
为自由变量,令χ
4
=1,代入(a)所对应的齐次线性方程组,求得χ
3
=-2,χ
2
=-5,χ
1
=6,故(a)所对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ=(6,-5,-2,1)
T
. 令χ
4
=0,代人(Ⅰ)中,得χ
3
=-1,χ
2
=-4,χ
1
=6, 故(Ⅰ)的特解为η=(6,-4,-1,0)
T
. 所以方程组(a)的通解为χ=kξ+η其中k为任意常数. (Ⅱ)方程组(a)与(b)同解,则ξ=(6,-5,-2,1)
T
满足方程组(b)所对应的齐次线性方程组,即 [*] 此时,当a=1,b=4,c=4时,有r(B)=3,且η=(6,-4,-1,0)
T
满足方程组(b),可以作为方程组(b)的特解.所以方程组(b)的通解也为χ=kξ+η,其中k为任意常数, 所以当a=1,b=4,c=4时,方程组(a)与(b)同解.
解析
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考研数学二
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