2. 考研
  3. 已知方程组有无穷多解，且系数矩阵A的特征值是1，﹣1，0，对应的特征向量依次是p1＝(1，2a，﹣1)T，p2＝(a－2，﹣1，a＋1)T，p3＝(a，a＋3，a＋2)T，求矩阵A及A100．

已知方程组有无穷多解，且系数矩阵A的特征值是1，﹣1，0，对应的特征向量依次是p1＝(1，2a，﹣1)T，p2＝(a－2，﹣1，a＋1)T，p3＝(a，a＋3，a＋2)T，求矩阵A及A100．

admin2020-06-05  63
问题 已知方程组有无穷多解，且系数矩阵A的特征值是1，﹣1，0，对应的特征向量依次是p1＝(1，2a，﹣1)T，p2＝(a－2，﹣1，a＋1)T，p3＝(a，a＋3，a＋2)T，求矩阵A及A100．
选项
答案对方程组增广矩阵作初等行变换： [*] 当a＝﹣1或a＝0时，[*]＝R(A)＝2﹤3，即方程组均有无穷多解． 若a＝﹣1，则p1＝(1，﹣2，﹣1)T与p3＝(﹣1，2，1)T对应分量成比例，即p1，p2，p3线性相关，不合题意． 若a＝0时，则p1＝(1，0，﹣1)T，p2＝(﹣2，﹣1，1)T，p3＝(0，3，2)T线性无关．根据特征值与特征向量的定义，有A(p1，p2，p3)＝(p1，﹣p2，0)．于是 A＝(p1，﹣p2，0)(p1，p2，p3)﹣1 [*] 因为A有3个不同的特征值，所以它与对角矩阵相似，即P﹣1AP＝[*]＝diag(1，﹣1，0)，其中P＝(p1，p2，p3)，于是 A100 [*]
解析
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考研数学一

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