假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y= —1}=，P{Y=1}=。求： Z=XY的概率密度fZ(z)。

admin2019-07-19 46

问题假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y= —1}=

，P{Y=1}=

。求：
Z=XY的概率密度f_Z(z)。

选项

答案根据题意[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为 F_Z(z)=P{XY≤z}=P{Y= —1}P{XY≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1} =P{Y= —1}P{—X≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1} =P{Y= —1}P{X≥—z}+P{Y=1}P{X≤z} =[*][1—P{X＜—z}]+[*]P{X≤z} =[*] 即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为f_Z(z)=φ(z)=[*]。

解析

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