2. 考研
  3. 设α＝(1，2，3，4)T，β＝(3，－2，－1，1)T，A＝αβT． (I)求A的特征值、特征向量； (Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵?说明理由．

设α＝(1，2，3，4)T，β＝(3，－2，－1，1)T，A＝αβT． (I)求A的特征值、特征向量； (Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵?说明理由．

admin2020-03-15  59
问题 设α＝(1，2，3，4)T，β＝(3，－2，－1，1)T，A＝αβT．
(I)求A的特征值、特征向量；
(Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵?说明理由．
选项
答案法一 (I)[*] 故A有特征值λ＝0(四重根)． 当λ＝0时，(λE－A)x＝0即Ax＝0，其同解方程为3x1－2x2－x3﹢x4＝0． 解得对应的线性无关的特征向量为 ξ1＝(2，3，0，0)T，ξ2＝(1，0，3，0)T，ξ3＝(1，0，0，－3)T． A的对应于λ＝0的全体特征向量为k1ξ1﹢k2ξ2﹢k3ξ3，其中k1，k2，k3为不全为零的任意常数． (Ⅱ)因r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1(α≠0)，A≠O，故r(A)＝1． λ＝0为四重特征值，线性无关的特征向量只有3个，故A不能相似于对角矩阵． 法二 (I)r(A)＝r(αβT)≤r(α)=1．又A≠O，故r(A)＝1，｜A ｜＝0． 故A有特征值λ＝0．对应的特征向量满足(OE－A)x＝O，即Ax＝αβT＝0，其同解方程为 3x1－2x2－x3﹢4＝0． 故知λ＝0至少是A的三重特征值，设第4个特征值为λ4． 由[*]＝3－4－3﹢4=0，得λ4＝0，故λ＝0是四重特征值．对应特征向量的求法同法一． (Ⅱ)由于λ＝0是四重特征值，但对应的线性无关特征向量只有3个，故A不能相似于对角矩阵．
解析
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考研数学二

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