2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx

设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx

admin2018-09-25  60
问题 设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：
(1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)；
(2)∫0xf(t)dt以T为周期<=>∫0Tf(x)dx=0；
(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T<=>∫0Tf(x)dx=0．
选项
答案(1) ∫aa+Tf(x)d=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫TT+af(x)dx， 其中∫TT+af(x)dx=∫TT+af(x－T)dx[*]∫0af(s)ds=∫0af(x)dx． 代入上式得∫aa+Tf(x)=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫0af(x)dx=∫0Tf(x)dx． (2)∫0xf(t)dt以T为周期<=>∫0x+Tf(t)dt－∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt[*]∫0Tf(t)dt=0． (3)只需注意∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数．
解析
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考研数学一

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