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设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)的系数矩阵为A=(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,-1,a+2,1)T,η2=(-1,2,4,a+8)T. (1)求(Ⅰ)的一个基础解系; (2)口为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求
设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)的系数矩阵为A=(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,-1,a+2,1)T,η2=(-1,2,4,a+8)T. (1)求(Ⅰ)的一个基础解系; (2)口为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求
admin
2019-03-21
53
问题
设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)的系数矩阵为A=
(Ⅱ)的一个基础解系为η
1
=(2,-1,a+2,1)
T
,η
2
=(-1,2,4,a+8)
T
.
(1)求(Ⅰ)的一个基础解系;
(2)口为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解.
选项
答案
(1)把(Ⅰ)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵 [*] 得到(Ⅰ)的同解方程组[*] 对自由未知量χ
3
,χ
4
赋值,得(Ⅰ)的基础解系γ
1
=(5,-3,1,0)
T
,γ
3
=(-3,2,0,1)
T
. (2)(Ⅱ)的通解为c
1
η
1
+c
2
η
2
=(2c
1
-c
2
,-c
1
+2c
2
,(a+2)c
1
+4c
2
,c
1
+(a+8)c
2
)
T
.将它代入(Ⅰ),求出为使c
1
η
1
+c
2
η
2
也是(Ⅰ)的解(从而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解),c
1
,c
2
应满足的条件为: [*] 于是当a+1≠0时,必须c
1
=c
2
=0,即此时公共解只有零解. 当a+1=0时,对任何c
1
,c
2
,c
1
η
1
+c
2
η
2
都是公共解.从而(Ⅰ),(Ⅱ)有公共非零解.此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解:c
1
η
1
+c
2
η
2
,c
1
,c
1
不全为0.
解析
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0
考研数学二
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