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(2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数,其中k为参数.
(2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数,其中k为参数.
admin
2018-06-30
93
问题
(2011年)求方程karctanx—x=0不同实根的个数,其中k为参数.
选项
答案
解1 令f’(x)=karctanx—x,则f(x)是(一∞,+∞)上的奇函数,且 [*] 当k一1≤0即k≤1时,f’(x)<0(x≠0),f(x)在(一∞,+∞)内单调减少,方程f(x)=0只有一个实根x=0. 当k一1>0即k>1时,在[*]内,f’(x)>0,f(x)单调增加;在[*]内,f’(x)<0,f(x)单调减少,所以[*]是f(x)在(0,+∞)内的最大值. 由于f(0)=0,所以[*] 又因为[*]所以存在[*]使得f(ξ)=0. 由f(x)是奇函数及其单调性可知:当k>1时,方程f(x)=0有且仅有三个不同实根x=一ξ,x=0,x=ξ. 解2 令f(x)=karctanx-x,显然f(x)是奇函数,则其零点关于原点对称,f(0)=0,只需讨论f(x)在(0,+∞)上零点的个数,为此,令 [*] g(x)与f(x)在(0,+∞)内零点个数相同, [*] 则g’(x)>0 x∈(0,+∞) g(x)单调增,又 [*] 若k≤1,g(x)在(0,+∞)内:无零点,原方程有唯一实根x=0; 若k>1,g(x)在(0,+∞)内有唯一零点,原方程有三个实根.
解析
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考研数学一
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