2. 考研
  3. 设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)=( )．

设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)=( )．

admin2018-09-29  58
问题 设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)=(    )．
选项 A、e
B、1／e
C、－1／e
D、－e
答案B
解析 首先应求出ξn，进而得到f(ξn)，最后求出极限值．因为ξn是曲线在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标，即x轴截距，所以还需从切线方程入手．注意点(1，1)在曲线f(x)=xn上．
由于f’(x)=nxn－1，所以过点(1，1)的切线斜率k=f’(1)=n．切线方程为
y－1－=n(x－1)，
令y=0，代入切线方程，求得的x值就是ξn．所以
ξn=1－，
f(ξn)=(1－)n，
故
=e－1=1／e．
故选B．
ξn的几何意义是说，随着n的增大，曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点就越来越靠近点(1，0)．当n→∞时，切线的极限位置将是一条过点(1，1)且垂直于x轴的直线，此时切线的斜率k=∞．
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