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设λ为可逆方阵A的特征值,且x为对应的特征向量,证明:(1)λ≠0;(2)为A-1的特征值,且x为对应的特征向量;(3)为A*的特征值,且x为对应的特征向量.
设λ为可逆方阵A的特征值,且x为对应的特征向量,证明:(1)λ≠0;(2)为A-1的特征值,且x为对应的特征向量;(3)为A*的特征值,且x为对应的特征向量.
admin
2018-08-02
120
问题
设λ为可逆方阵A的特征值,且x为对应的特征向量,证明:(1)λ≠0;(2)
为A
-1
的特征值,且x为对应的特征向量;(3)
为A
*
的特征值,且x为对应的特征向量.
选项
答案
若λ=0,则有|0E-A|=0,即(-1)
n
|A|=0,[*]|A|=0,这与A可逆矛盾,故必有λ≠0;由Ax=λx两端右乘A
-1
,得λA
-1
x=x,两端同乘[*],得A
-1
x=[*]x,故[*]为A
-1
的一个特征值,且c为对应的特征向量;因A
-1
=|A|A
*
,代入A
*
x=[*]x,得A
*
x=[*]为A
*
的一个特征值.且x为对应的特征向量.
解析
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考研数学二
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