设x＞0，试证e2x(1－x)＜1+x。

admin2021-08-05 32

问题设x＞0，试证e^2x(1－x)＜1+x。

选项

答案设f(x)=e^2x(1－x)－(1+x)，x＞0。fˊ(x)=e^2x(1－2x)－1，f"(x)=－4xe^2x，x＞0。f"(x)≤0，所以f’(x)在(0，+∞)内递减。在(0，+∞)内，f’(x)＜f’(0)=0，f(x)在(0，+∞)内递减。任意x∈(0，+∞)有f(x)＜f(0)，即e^2x(1－x)－(1+x)＜0。亦即当x＞0时，e^2x(1－x)＜1+x。

解析

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