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  3. 设y=xcosx，求y(n)．

设y=xcosx，求y(n)．

admin2016-10-26  24
问题 设y=xcosx，求y(n)．
选项
答案逐一求导，得 y′=cosx+x(cosx)′， y″=2(cosx)′+x(cosx)″， [*]=y(3)=3(cosx)″+x(cosx)(3)，… 观察其规律得 y(n)=n(cosx)(n－1)+x(cosx)(n)． (*) 用归纳法证明：当n=1时(*)显然成立，设n=k时(*)式成立，得 y(k+1)=k(cosx)(k)+(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)= (k+1)(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)， 即n=k+1时成立，因此(*)式对任意自然数n成立． 再用(cosx)(n)的公式得 y(n)= ncos(x+[*]．
解析 逐一求导，求出y′，y″，…，总结出规律，写出y(n)表达式，然后用归纳法证明．
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考研数学一

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