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设y=y(x)(x>0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解,且 (I)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离. (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx.
设y=y(x)(x>0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解,且 (I)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离. (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx.
admin
2017-12-18
17
问题
设y=y(x)(x>0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e
-x
的一个解,且
(I)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离.
(Ⅱ)计算∫
0
+∞
y(x)dx.
选项
答案
(I)2y"+y’一y=(4—6x)e
-x
的特征方程为2λ
2
+λ—1=0,特征值为λ
1
=一1,[*] 2y"+y’一y=0的通解为y=C
1
e
-x
+[*] 令2y"+y’一y=(4—6x)e
-x
的特解为y
0
=(ax
2
+bx)e
-x
,代入得a=1,b=0, 原方程的通解为y=C
1
e
-x
+[*] 由[*]得y(0)=0,y’(0)=0,代入通解得C
1
=C
2
=0,故y=x
2
e
-x
. 由y’=(2x一x
2
)e
-x
=0得x=2, 当x∈(0,2)时,y’>0;当x>2时,y’<0,则x=2为y(x)的最大点, 故最大距离为d
max
=y(2)=4e
-2
. (Ⅱ)∫
0
+∞
y(x)dx=∫
0
+∞
x
2
e
-x
dx=Γ(3)=2!=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Xur4777K
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考研数学一
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