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  3. 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴所围成．计算二重积分(x+2y)dxdy．

设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴所围成．计算二重积分(x+2y)dxdy．

admin2022-09-22  55
问题 设平面区域D由曲线(0≤t≤2π)与x轴所围成．计算二重积分(x+2y)dxdy．
选项
答案题中所给曲线是一条拱线，平面区域D可表示为 D={(x，y)｜0≤x≤2π，0≤y≤y(x)}． 因此 [*](x+2y)dxdy=∫02πdx∫0y(x)(x+2y)dy=∫02π(xy+y2)｜0y(x)dx =∫02π[xy(x)+y2(x)]dx． 下面利用换元法求解．令x=t-sin t，y(x)=1-cos t，则 [*](x+2y)dxdy=∫02π[(t-sin t)(1-cos t)+(1-cos t)2]d(t-sin t) =∫02π[(t- sin t)(1-cos t)2+(1-cos t)3]dt =∫02π[t(1-cos t)2-sin t(1-cost)2+(1-cos t)3]dt． 而∫02πt(1-cos t)2dt=∫02π(t-2t cos t+t cos2t)dt =[*]｜02π=3π2， ∫02πsin t(1-cos t)2dt=∫02π(1-cos t)2d(1-cos t)=[*](1-cos t)3｜02π=0， ∫02π(1-cos t)3dt=∫02π(1-3cos t+3 cos2t-cos3t)dt =[*]｜02π=5π 因此 [*](x+2y)dxdy=3π2+5π
解析
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考研数学二

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