设f(x)在(－∞，+∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又f’(0)=1，求f(x)．

admin2022-06-30 50

问题设f(x)在(－∞，+∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a+b)=e^af(b)+e^bf(a)成立，又f’(0)=1，求f(x)．

选项

答案取a=0，b=0得f(0)=0． f’(x)[*] =e^xf’(0)+f(x)[*]=f(x)+e^x 从而f’(x)－f(x)=e^x，通解为f(x)=[*]=(x+C)e^x，由f(0)=0得C=0，故f(x)=xe^x．

解析

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考研数学二

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