若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=______。

admin2019-07-17 55

问题若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=______。

选项

答案x(1一e^x)+2

解析由常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x可知y₁=e^x，y₂=xe^x为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有
y’’₁+ay’₁+by₁=(1+a+b)e^x=0 => 1+a+b=0，
y’’₂+ay’₂+by₂=[2+a+(1+a+b)x]e^x=0 => 2+a=0，
从而a=一2，b=1，故非齐次微分方程为y’’+ay’+by=x。
设特解y^*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即
Ax+(一2A+B)=x

所以特解为y^*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^x+x+2。
把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C₁=0，C₂=一1。故所求特解为y=一xe^x+x+2=x(1一e^x)+2。

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考研数学二

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若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=______。

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