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若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的特解为y=______。
若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的特解为y=______。
admin
2019-07-17
68
问题
若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
,则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的特解为y=______。
选项
答案
x(1一e
x
)+2
解析
由常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
可知y
1
=e
x
,y
2
=xe
x
为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有
y’’
1
+ay’
1
+by
1
=(1+a+b)e
x
=0 => 1+a+b=0,
y’’
2
+ay’
2
+by
2
=[2+a+(1+a+b)x]e
x
=0 => 2+a=0,
从而a=一2,b=1,故非齐次微分方程为y’’+ay’+by=x。
设特解y
*
=Ax+B,代入非齐次微分方程,得一2A+Ax+B=x,即
Ax+(一2A+B)=x
所以特解为y
*
=x+2,非齐次方程的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
+x+2。
把y(0)=2,y’(0)=0代入通解,得C
1
=0,C
2
=一1。故所求特解为y=一xe
x
+x+2=x(1一e
x
)+2。
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