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  3. 若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=______。

若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=______。

admin2019-07-17  105
问题 若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=______。
选项
答案x(1一ex)+2
解析 由常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有
y’’1+ay’1+by1=(1+a+b)ex=0 => 1+a+b=0，
y’’2+ay’2+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=0 => 2+a=0，
从而a=一2，b=1，故非齐次微分方程为y’’+ay’+by=x。
设特解y*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即
Ax+(一2A+B)=x
所以特解为y*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。
把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C1=0，C2=一1。故所求特解为y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。
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考研数学二

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